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普通年金终值公式推导

更新时间:2021-07-11 06:12:03 1676

普通年金终值公式推导

普通年金终值公式推导

推导思路如下:
(1)设终值为S,年金为A,利率为i,期数为n:S=A+A(1+i)+……+A(1+i)^n-1;
(2)等式两边同乘以1+i 得:1+iS=A(1+i)+A(1+i)^2……+A(1+i)^n;
(3)后式减前式可得:iS=A(1+i)^n-A ;则有:S=A[(1+i)^n-1]/i;
(4)其实这就是个首项为A,公比为(1+i),项数为n的等比数列的和。直接套用公式:首项×(1-公比的n次方)÷(1-公比)即可得出。
年金终值就是在已知等额收付款金额Present、利率(这里我们默认为年利率)interest和计息期数n时,考虑货币的时间价值,计算出的这些收付款到到期时的等价票面金额。
年金按其每次收付发生的时点(即收付当日日是在有限期的首期期末、有限期的首期期初、有限期的若干期后的期末、无限期)的不同,可分为:普通年金(后付年金)、先付年金、递延年金、永续年金等几种。
故年金终值亦可分为:普通年金终值、先付年金终值、递延年金终值。(注:永续年金只有现值,不存在终值。)

普通年金终值公式怎么理解

设终值为s,年金为a,利率为i,期数为n:
s=a+a(1+i)+……+a(1+i)^n-1
此等式两边同乘以1+i得:
1+is=a(1+i)+a(1+i)^2……+a(1+i)^n
后式减前式可得:
is=a(1+i)^n-a
则有:s=a[(1+i)^n-1]/i
其实这就是个首项为a,公比为(1+i),项数为n的等比数列的和,直接套用公式:
首项×(1-公比的n次方)÷(1-公比)即可得出。

普通年金终值的计算

普通年金终值是指一定时期内,每期期末等额收入或支出的本利和,也就是将每一期的金额,按复利换算到最后一期期末的终值,然后加总,就是该年金终值。
例如:每年存款10000元,年利率为10%,经过5年,逐年的终值为年金终值,计算为:

普通年金终值公式推导

记作F=A(F/A,i,n)推导如下:

普通年金终值公式推导

普通年金终值公式推导

如果年金的期数n很多,用上述方法计算终值显然相当繁琐。由于每年支付额相等,折算终值的系数又是有规律的,所以,可找出简便的计算方法,其思路为:将其视为以(1+i)为公比的等比数列,采用等比数列求和公式,将其简化为以下公式:
设每年的支付金额为A,利率为i,期数为n,则按复利计算的年金终值F为:

普通年金终值公式推导

式中N为普通年金终值系数后付年金终值系数,利率为i,经过n期的年金终值记作(F/A,i,n),可查普通年金终值系数表。

附:

内容扩展

一、年金终值与现值有什么区别?如何理解?
通俗来说,可以这样理解年金现值和终值:假设你每年年底向银行存款相同的金额,年金现值就是你每年存的钱折到现在你有多少钱,年金终值就是你每年存的钱到最后你存款的年底你有的钱。
举个例子:
2015年年初你分期付款购买了一辆车,从2015年年初向对方付款5万,每年年初支付等额款项,一共支付五次,等你2019年全部付完款之后,总款项在2015年初的价值就是年金现值,而总款项在2019年年初的价值就是年金终值。

二、关于普通年金终值计算公式的n-1的怎么理解?
比如n为5 A为1000 i=0.01
F=1000(1+0.01)^4+1000(1+0.01)^3+1000(1+0.01)^2+1000(1+0.01)^1+1000
是第一年末存入1000 到第五年末 计息期有 第二年末 第三年末 第四年末 第五年末 一共为4期 所以是n-1
而第五年末存入没有利息 所以就是A(1+i)^0。

三、F=A(F/A,i,n)中的括号里的逗号是什么意思?怎么计算?比如是F=18*(F/A,10%,10)=18*15.937=286.87那么15.937是怎么算出来的呢?
逗号起到隔离的作用。i代表利率,n代表期数,(F/A,i,n)查年金现值系数表就可以得到。已知年金A,根据公式就可以计算了。15.937是通过查年金终值系数表得到的,不是计算出的。财管教材后都有附表,已知期数n,利率i可以查到。

本文关键词:年金 终值 普通 公式 推导 利率 

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